#Эйнштейн #Гравитация
Возьму на себя смелость дать совет тем, кто хотел бы изучить ОТО на уровне понимания математики.
1. Для начала изучить СТО. Причём, как мне представляется изучить её как геометрию плоского пространства с псевдоевклидовой метрикой. Довольно часто литература по этой части, пишется таким образом, что опираясь на бытовой опыт и, используя постоянство скорости света, "проводят" мысленные опыты, показывающие относительность одновременности и лоренцово сокращение длины. Так можно, но, на мой взгляд, более правильный подход состоит в том, чтобы изначально принять, что пространство и время составляют единый объект: "пространство-время", расстояние между событиями (точками) в котором даётся интервалом. Он инвариантен относительно поворотов в пространстве-времени. Это несложная математика, и из неё следуют все эффекты СТО.
2. ОТО. На мой взгляд, на начальном этапе её изучения необходимо осознать принцип эквивалентности. Он гласит, что локально физика «плоская», т.е. описывается СТО. Это приводит к пониманию, того что всё пространство сложено из плоских участков, и это наглядно, ведь хотя Земля и круглая, в малой окрестности (например в пределах кухни)), для каждого из нас она плоская. Таким образом, становится ясной необходимость изучения римановой геометрии. Любое уравнение состоит из двух частей, и риманова геометрия составляет одну часть уравнения ОТО. На самом деле, конечно, это уравнение «записывает» несколько однотипных уравнений и условия связи между элементами метрического тензора, но суть в том, что изучив риманову геометрию можно начинать изучать решения ОТО в пустом пространстве. А это, между прочим, чёрные дыры, отклонение света и перигелий Меркурия). Другая часть уравнения – энергия, это несколько сложнее, и там уже «заходить» надо со стороны физики – теории поля.
3. О том какая математика нужна для СТО и ОТО. Вы очень далеко сможете продвинуться если знаете что такое дифференцирование (формулы дифференцирования суммы и произведения функций, формулы дифференцирования сложной функции, дифференциал функции многих переменных). Некоторую сложность могут представлять тензоры, т.к. их не изучают в школе, но они не так сложны – тензор всего лишь совокупность чисел, каждое из которых, при переходе к другим координатам, преобразуется с «использованием» других чисел составляющих тензор. В результате в новых координатах компонента тензора будет линейной комбинацией всех его компонент, определённых в старой системе. Коэффициенты этой комбинации тоже несложны. Можно просто взять определение тензора из Ландавшица и не «париться» далее мыслью о том, что же это за «зверь такой».
Приятной «неожиданностью» для вступающего на тропу изучения теории, будет минимальное использование интегралов. Это требуется для определения геодезической (хотя её уравнение может быть получено и без использования интеграла) и при получении самого уравнения ОТО вариационным методом. Правда, у некоторых авторов оно выводиться без вариаций, но там тоже свои сложности. Ещё интегральные теоремы Стокса могут потребоваться для вывода тензора кривизны (хотя это можно вывести и без них).
Какую литературу я бы мог посоветовать.
1. Видео с лекцией Ахмедова о СТО.
2. "Риманова геометрия и тензорный анализ" Рашевский П.К. По этой книге я сам начинал изучать тензорный анализ и после неё можно читать практически любую литературу на эту тему
3. «Гравитация и космология» С. Вайнберга. Здесь подход к ОТО более физичен чем обычно. Так, например, ясно написано и продемонстрировано, как переписать уравнения СТО в форме ОТО. Ковариантное дифференцирование и тензор кривизны получены различными способами – формально, как операция получения тензорных величин из нетензорных, так и «на пальцах».
4. Ландавшиц «Теория поля». Может оказаться кратчайшим путём к ОТО. Расшифровку того что у него написано после слов «очевидно», «легко показать» и т.п. можно найти в литературе приводимой в настоящем сообщении.
5. Трёхтомник «Гравитация» Мизнера, Торна, Уилера. Я бы не советовал учить ОТО ТОЛЬКО по этой книге. В частности, многое в нём изложено на языке дифференциальных форм, которые на первоначальном этапе не являются необходимыми для понимания предмета. Но книга хороша тем, что в ней многие понятия объясняются на пальцах, много иллюстраций и если есть необходимость лУчшего понимания того, что написано в другой литературе, то я открываю «Гравитацию».
6. А. Эддингтон. Математика общей теории относительности. Вся она там разжёвана очень тщательно.
7. А. Эйнштейн. Работы по теории относительности 1905-1920 года. Эйнштейн тогда писал так, что это читается без «перевода» на сегодняшний язык.
8. Геометрофизика Ю.В. Владимирова.
9. П-М. Дирак «Общая теория относительности»
10. М.Г. Иванов «Геометрические методы в классической теории поля».
11. В.А. Фок Теория пространства-врмени
Приведённый список – это та литература, которую лично я чаще всего использую, но, конечно же, она не исчерпывает всего хорошего, что написано по этой теме.
На какие моменты я бы обратил особое внимание при изучении ОТО.
Центральным местом является понятие параллельного переноса в криволинейном пространстве. Оно должно быть понятым «вдоль и поперёк». Его важность объясняется тем, что в кривом пространстве мы не можем откладывать вектор в любой его точке. И если нам надо сравнить два вектора в различных точках, то необходимо совместить точку их начала. А операция дифференцирования это ведь вычитание одного вектора из другого. Т.е. параллельный перенос это основа всего тензорного анализа в римановом пространстве (здесь под этим понимаются и пространства, локально псевдоевклидовы).
И ещё, изучение римановой геометрии лучше (на мой взгляд) начинать с изучения геометрии в криволинейных координатах, но которое вложено в плоское пространство. Многие (если не все) формулы, получаемые здесь, остаются действительными и в римановом пространстве.
Формулы, получающиеся в тензорном анализе в римановом пространстве и выкладки, бывают громоздкими, но, зачастую, они стандартизированы и для них не требуется каких- то особых математических умений, достаточно дифференцирования, поднятие/опускание индексов. Поэтому для тех, кто хотел бы дойти до самих уравнений Эйнштейна нет необходимости сильно влезать в математические изыски.
Уже потом, когда вы покорите эту вершину можно заняться изучение ландшафта и камней под ногами и обратить свой взор ввысь - на современные методы.